etet Вопросы природопользованияEnvironmental Management Issues 3034-3461 Индивидуальный предприниматель Подколзин М.М. 10.25726/f2211-1955-5574-q277 APPLIED RESEARCHПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Математические модели оптимального исполнения крупных ордеров при стохастической ликвидности и ценовом воздействии с балансом между проскальзыванием и рискомMathematical models of optimal execution of large orders under stochastic liquidity and price impact with a balance between slippage and risk Успаева Милана Гумкиевна mguspaeva@mail.ru Гачаев Ахмед Магомедович Gachaev-chr@mail.ru Чеченский государственный университет им. А.А. Кадырова, 364024, Чеченская Республика, г. Грозный, ул. А. Шерипова, 32 Грозненский государственный нефтяной технический университет им. акад. М.Д. Миллионщикова, 364051, Чеченская Республика, г. Грозный, пр. им. Х.А. Исаева, 100 2025 30 08 2025 4819Вопросы природопользованияEnvironmental management issues112 121 Исследование посвящено проблеме оптимального исполнения крупных биржевых ордеров в условиях стохастической ликвидности и ценового воздействия, которые формируют значимую долю транзакционных издержек институциональных инвесторов. Целью работы является построение математической модели, позволяющей находить динамический баланс между минимизацией проскальзывания и контролем риска исполнения с учетом случайных изменений глубины рынка, спреда и волатильности. В качестве эмпирической базы использованы высокочастотные данные по наиболее ликвидным акциям технологического сектора, торгуемым на крупной американской бирже, за многолетний период, что обеспечивает репрезентативность и стабильность оценки параметров. Ликвидность моделируется с помощью стационарного процесса с возвратом к среднему, а ценовое воздействие разлагается на временную и постоянную компоненты с нелинейной зависимостью от объема сделки. Оптимальная траектория исполнения выводится из задачи стохастического управления на основе уравнения Гамильтона Якоби Беллмана, где целевая функция агрегирует ожидаемые издержки и дисперсию стоимости исполнения с учетом коэффициента неприятия риска инвестора. Эффективность разработанной модели оценивается методом численного моделирования и сравнивается с распространенными бенчмарками, включая равномерное по времени исполнение, стратегию, ориентированную на профиль объема, и классическую статическую модель, основанную на детерминированной ликвидности. Результаты показывают значимое снижение среднего проскальзывания и риска, особенно в периоды повышенной рыночной волатильности, а также выраженную зависимость оптимального горизонта и агрессивности торговли от параметра неприятия риска. Дополнительно анализируется поведение модели в различных режимах рынка, выделяемых по уровню волатильности индикаторов, что позволяет выявить рост преимущества адаптивного подхода по мере усиления неопределенности и сокращения доступной ликвидности. Проводится сопоставление структуры издержек во временном и постоянном ценовом воздействии, демонстрирующее способность модели концентрировать объем в благоприятные окна ликвидности и снижать давление на книгу заявок. Обсуждается практическая применимость полученных выводов для настройки алгоритмических стратегий институциональных инвесторов, интеграции модели в систему риск менеджмента, разработки регламентов стресс тестирования, а также выбора параметров в зависимости от режима рынка и характеристик управляющего мандата. Отмечаются направления дальнейших исследований, включающие усложнение стохастической структуры ликвидности, использование методов машинного обучения для классификации рыночных режимов и учет асимметрии ценового воздействия и микроструктурных эффектов более высокого порядка.The study addresses the problem of optimal execution of large exchange orders under stochastic liquidity and price impact, which constitute a significant share of transaction costs for institutional investors. The aim of the work is to construct a mathematical model that enables the identification of a dynamic balance between minimizing slippage and controlling execution risk, taking into account random fluctuations in market depth, spread, and volatility. The empirical basis relies on high-frequency data on the most liquid technology sector stocks traded on a major U.S. exchange over a multi-year period, ensuring parameter estimates that are both representative and stable. Liquidity is modeled using a stationary mean-reverting process, while price impact is decomposed into temporary and permanent components with a nonlinear dependence on trade size. The optimal execution trajectory is derived from a stochastic control problem based on the Hamilton–Jacobi–Bellman equation, where the objective function aggregates the expected cost and variance of execution value, accounting for the investor’s risk aversion coefficient. The effectiveness of the proposed model is evaluated through numerical simulations and compared with common benchmarks, including time-weighted average execution, volume-profile-based strategies, and the classical static model based on deterministic liquidity. The results show a significant reduction in average slippage and execution risk, particularly during periods of elevated market volatility, as well as a pronounced dependence of the optimal trading horizon and aggressiveness on the risk aversion parameter. In addition, the model’s behavior across different market regimes, classified by volatility levels of key indicators, is analyzed, revealing that the advantage of the adaptive approach increases with rising uncertainty and decreasing available liquidity. The study also compares the cost structure under temporary and permanent price impacts, demonstrating the model’s ability to concentrate trading volume within favorable liquidity windows and reduce pressure on the order book. The practical applicability of the findings is discussed in the context of tuning algorithmic strategies for institutional investors, integrating the model into risk management systems, developing stress-testing protocols, and selecting parameters based on market regime and mandate characteristics. Directions for further research include enriching the stochastic structure of liquidity, employing machine learning methods to classify market regimes, and accounting for asymmetry in price impact as well as higher-order microstructural effects.optimal executionstochastic liquidityprice impactexecution riskalgorithmic tradingоптимальное исполнениестохастическая ликвидностьценовое воздействиериск исполненияалгоритмическая торговля issue-cover Агаева Ч.А. Необходимые условия оптимальности для стохастических систем с запаздывающим аргументом : автореф. дис. ... канд. физ.мат. наук. Баку, 1992. 16 с. Белкина Т.А., Левочкина М.С. О стохастической оптимальности в задаче линейного регулятора, возмущенного последовательностью зависимых случайных величин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11, № 2. С. 234-236. Белкина Т.А., Самханова М.В. Исследование динамической модели оптимизации потребления со случайным доходом // Анализ и моделирование экономических процессов. Сборник статей. Центральный экономико-математический институт РАН. Москва, 2006. С. 119-134. Бычков А.С. Построение оптимальных качественных характеристик линейных стохастических систем нейтрального типа : автореф. дис. ... канд. физ.мат. наук. Киев, 1994. 16 с. Волков С.Н. Оптимизация и инвестирование в стохастических моделях финансовой математики : дис. ... канд. физ.мат. наук. Москва, 1999. 128 с. Воронцов Г.В., Федий В.С. Векторная оптимизация параметров наблюдаемых и управляемых стохастических систем // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2000. № 1. С. 6-9. Жукова А.А. Применение достаточных условий оптимальности при исследовании стохастических моделей рынков не вполне ликвидных товаров : автореф. дис. ... канд. физ.мат. наук. Москва, 2012. 24 с. Кащеев В.А. Повышение эффективности симплексного поиска в задачах стохастической оптимизации : дис. ... канд. техн. наук. Красноярск, 1984. 192 с. Косенкова М.В., Мироедова К.М. Построение стохастической задачи оптимального управления социальной системой // Образование, наука, инновации: вклад молодых исследователей. VI (XXXVIII) Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых. 2011. С. 174-175. Пресман Э.Л. Исследования по стохастическому оптимальному уровню : дис. ... д-ра физ.мат. наук. Москва, 1999. 169 с. Смирнова В.В. Методы решения некоторых стохастических задач типа затраты-выпуск и линейного программирования : дис. ... канд. физ.мат. наук. Киев, 1984. 171 с. Трегубов В.М., Кирпичников А.П., Якимов И.М., Шакирзянов Р.М. Дискретная стохастическая оптимизация систем массового обслуживания на имитационных моделях // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2017). Материалы XVI Международной конференции имени А.Ф. Терпугова. 2017. С. 188-196. Халина А.С. Оптимизация линейных и квазилинейных диффузионных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени, при неполной информации о состоянии : автореф. дис. ... канд. физ.мат. наук. Москва, 2016. 24 с.